martes, 23 de febrero de 2016

Ecuaciones de Maxwell y Espectro Electromagnético.

Ecuaciones de Maxwell.

 Alrededor de 1860, el gran físico escocés James Clerck Maxwell dedujo que las leyes experimentales de la electricidad y el magnetismo (leyes de Coulomb, Gauss, Biot-Savart, Ampere y Faraday) podían resumirse de una forma matemática concisa que hoy es conocida como Ecuaciones de Maxwell. En una de ellas (la de Ampere) aparecía una inconsistencia que Maxwell fue capaz de eliminar. Además, los experimentos individuales que condujeron a las leyes nunca dieron una indicación de sus implicaciones, entre ellas la existencia de ondas electromagnéticas. 

 Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones (originalmente 20 ecuaciones) que describen por completo los fenómenos electromagnéticos. La gran contribución de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnético.

Ley de Gauss

Flujo eléctrico de una carga puntual en una superficie cerrada.
La ley de Gauss explica la relación entre el flujo del campo eléctrico y una superficie cerrada. Se define como flujo eléctrico (\Phi_E\,) a la cantidad de fluido eléctrico que atraviesa una superficie dada. Análogo al flujo de la mecánica de fluidos, este fluido eléctrico no transporta materia, pero ayuda a analizar la cantidad de campo eléctrico (\vec{E}) que pasa por una superficies. 
Matemáticamente se expresa como:
\Phi_E = \oint_S \vec{E} \cdot \rm{d}\vec{S}
La ley dice que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga (q) o la suma de las cargas que hay en el interior de la superficie y la permitividad eléctrica en el vacío (\varepsilon_0), así:4 5
\oint_{S} \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac {q}{\varepsilon_0}
La forma diferencial de la ley de Gauss, en forma local, afirma que por el teorema de Gauss-Ostrogradsky, la divergencia del campo eléctrico es proporcional a la densidad de carga eléctrica, es decir,
\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}
donde \rho es la densidad de carga en el medio interior a la superficie cerrada. Intuitivamente significa que el campo E diverge o sale desde una carga \frac{\rho}{\varepsilon_0}, lo que se representa gráficamente como vectores que salen de la fuente que las genera en todas direcciones. Por convención si el valor de la expresión es positivo entonces los vectores salen, si es negativo estos entran a la carga.
Para casos generales se debe introducir una cantidad llamada densidad de flujo eléctrico (\vec{D}) y nuestra expresión obtiene la forma:
\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho

Ley de Gauss para el campo magnético

Las líneas de campo magnético comienzan y terminan en el mismo lugar, por lo que no existe unmonopolo magnético.
Experimentalmente se llegó al resultado de que los campos magnéticos, a diferencia de los eléctricos, no comienzan y terminan en cargas diferentes. Esta ley primordialmente indica que las líneas de los campos magnéticos deben ser cerradas. En otras palabras, se dice que sobre una superficie cerrada, sea cual sea ésta, no seremos capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo, esto expresa la inexistencia del monopolo magnético. Al encerrar un dipolo en una superficie cerrada, no sale ni entra flujo magnético por lo tanto, el campo magnético no diverge, no sale de la superficie. Entonces la divergencia es cero.
\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0
donde \vec{B} es la densidad de flujo magnético, también llamada inducción magnética. Es claro que la divergencia sea cero porque no salen ni entran vectores de campo sino que este hace caminos cerrados. El campo no diverge, es decir la divergencia de B es nula.
Su forma integral equivalente:
\oint_S \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0
Como en la forma integral del campo eléctrico, esta ecuación sólo funciona si la integral está definida en una superficie cerrada.
 Matemáticamente esto se expresa así:

Ley de Faraday-Lenz

La ley de Faraday nos habla sobre la inducción electromagnética, la que origina una fuerza electromotriz en un campo magnético. Es habitual llamarla ley de Faraday-Lenz en honor a Heinrich Lenz ya que el signo menos proviene de la Ley de Lenz. También se le llama como ley de Faraday-Henry, debido a que Joseph Henry descubrió esta inducción de manera separada a Faraday pero casi simultáneamente. Lo primero que se debe introducir es la fuerza electromotriz (\mathcal{E}), si tenemos un campo magnético variable con el tiempo, una fuerza electromotriz es inducida en cualquier circuito eléctrico; y esta fuerza es igual a menos la derivada temporal del flujo magnético, así:
\mathcal{E} = - \frac{d \phi_B}{d t},
como el campo magnético es dependiente de la posición tenemos que el flujo magnético es igual a:
\phi_B = \int_{S} \vec{B} \cdot d\vec{S}.
Además, el que exista fuerza electromotriz indica que existe un campo eléctrico que se representa como:
\mathcal{E} = \oint \vec{E} \cdot d\vec{l}
con lo que finalmente se obtiene la expresión de la ley de Faraday:
\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \ { d \over dt } \int_{S} \vec{B} \cdot d\vec{S}
Lo que indica que un campo magnético que depende del tiempo implica la existencia de un campo eléctrico, del que su circulación por un camino arbitrario cerrado es igual a menos la derivada temporal del flujo magnético en cualquier superficie limitada por el camino cerrado.
El signo negativo explica que el sentido de la corriente inducida es tal que su flujo se opone a la causa que lo produce, compensando así la variación de flujo magnético (Ley de Lenz).
La forma diferencial local de esta ecuación es:
\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
Es decir, el rotacional del campo eléctrico es la derivada de la inducción magnética con respecto al tiempo.
Se interpreta como sigue: si existe una variación de campo magnético B entonces este provoca un campo eléctrico E o bien la existencia de un campo magnético no estacionario en el espacio libre provoca circulaciones del vector E a lo largo de líneas cerradas. En presencia de cargas libres, como los electrones, el campo E puede desplazar las cargas y producir una corriente eléctrica. Esta ecuación relaciona los campos eléctrico y magnético, y tiene otras aplicaciones prácticas cómo los motores eléctricos y los generadores eléctricos y explica su funcionamiento. Más precisamente, demuestra que un voltaje puede ser generado variando el flujo magnético que atraviesa una superficie dada.

Ley de Ampère generalizada

Ampère formuló una relación para un campo magnético inmóvil y una corriente eléctrica que no varía en el tiempo. La ley de Ampère nos dice que la circulación en un campo magnético (\vec{B}) a lo largo de una curva cerrada C es igual a la densidad de corriente (\vec{J}) sobre la superficie encerrada en la curva C, matemáticamente así:
\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \int_S \vec{J} \cdot d\vec{S}
donde \ \mu_0 es la permeabilidad magnética en el vacío.
Pero cuando esta relación se la considera con campos que sí varían a través del tiempo llega a cálculos erróneos, como el de violar la conservación de la carga. Maxwell corrigió esta ecuación para lograr adaptarla a campos no estacionarios y posteriormente pudo ser comprobada experimentalmente por Heinrich Rudolf Hertz.
Maxwell reformuló esta ley así:5
\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \int_S \vec{J} \cdot d\vec{S} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d}{dt} \int_S \vec{E} \cdot d\vec{S}
En el caso específico estacionario esta relación corresponde a la ley de Ampère, además confirma que un campo eléctrico que varía con el tiempo produce un campo magnético y además es consecuente con el principio de conservación de la carga.
En forma diferencial, esta ecuación toma la forma:
\vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}
En forma sencilla esta ecuación explica que si se tiene un conductor, un alambre recto que tiene una densidad de corriente J, esta provoca la aparición de un campo magnético B rotacional alrededor del alambre y que el rotor de B apunta en el mismo sentido que J.

 * Espectro Electromagnético:
Se denomina espectro electromagnético a la distribución energética del conjunto de las ondas electromagnéticas. Referido a un objeto se denomina espectro electromagnético o simplemente espectro a la radiación electromagnética que emite (espectro de emisión) o absorbe (espectro de absorción) una sustancia. Dicha radiación sirve para identificar la sustancia de manera análoga a una huella dactilar. Los espectros se pueden contemplar mediante espectroscopios que, además de permitir observar el espectro, permiten realizar medidas sobre el mismo, como son la longitud de onda, la frecuencia y la intensidad de la radiación. La longitud de una onda es el período espacial de la misma, es decir, la distancia que hay de pulso a pulso .

Frecuencia es una magnitud que mide el número de repeticiones por unidad de tiempo de cualquier fenómeno o suceso periódico.

El espectro electromagnético se extiende desde la radiación de menor longitud de onda, como los rayos gamma y los rayos X, pasando por la luz ultravioleta, la luz visible y los rayos infrarrojos, hasta las ondas electromagnéticas de mayor longitud de onda, como son las ondas de radio. Se cree que el límite para la longitud de onda más pequeña posible es la longitud de Planck mientras que el límite máximo sería el tamaño del Universo aunque formalmente el espectro electromagnético es infinito y continuo.
Para su estudio, el espectro electromagnético se divide en segmentos o bandas, aunque esta división es inexacta.





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Principio de Superposición y Ondas Electromagnéticas.

Principio de Superposición
Se ha comprobado que al producirse dos o más trenes de onda al mismo tiempo en medios elásticos que conservan una proporcionalidad entre la deformación y fuerza restauradora cada onda se propaga de forma independiente. La superposición es el desplazamiento que experimenta una partícula vibrante equivalente a la suma vectorial de los desplazamientos que cada onda le produce.



INTERFERENCIA DE ONDAS: La interferencia se produce cuando se superponen simultáneamente dos o más trenes de onda este fenómeno se emplea para comprobar si un movimiento es ondulatorio o no.


INTERFERENCIA CONSTRUCTIVA: Se presenta al superponerse dos movimientos ondulatorios de la misma frecuencia y longitud de onda que llevan el mismo sentido.




Ondas Electromagnéticas.
Una onda electromagnética es la forma de propagación de la radiación electromagnética a través del espacio. Y sus aspectos teóricos están relacionados con la solución en forma de onda que admiten las ecuaciones de Maxwell. 

A diferencia de las ondas mecánicas, las ondas electromagnéticas se propagan por el espacio sin necesidad de un medio, pudiendo por lo tanto propagarse en el vacío. Esto es debido a que las ondas electromagnéticas son producidas por las oscilaciones de un campo eléctrico, en relación con un campo magnético asociado. 
Las ondas electromagnéticas viajan aproximadamente a una velocidad constante muy alta, pero no infinita de 300.000 km por segundo. 
A esta velocidad podemos:
- darle la vuelta entera a la Tierra en 20 milisegundos
- viajar a la Luna en 1,3 segundos
- llegar al Sol en 8 minutos 19 segundos
- llegar a la estrella más cercana en 4,2 años
Gracias a ello podemos observar la luz emitida por una estrella lejana hace tanto tiempo que quizás esa estrella haya desaparecido ya. O enterarnos de un suceso que ocurre a miles de kilómetros prácticamente en el instante de producirse.

Años luz: En un año la luz recorre 9,46 millones de millones de kilómetros:
9.460.000.000.000 Km = 9,46 x 1012 Km.

A esta distancia se le llama el año-luz y es muy útil para expresar las distancias entre cuerpos estelares. Para viajar a la estrella más cercana (Alfa Centauro), la luz se demora 4,2 años, se dice entonces que Alfa Centauro se encuentra a una distancia de 4,2 años-luz.
Las ondas electromagnéticas se propagan mediante una oscilación de campos eléctricos y magnéticos. Los campos electromagnéticos al "excitar" los electrones de nuestra retina, nos comunican con el exterior y permiten que nuestro cerebro "construya" el escenario del mundo en que estamos. 

Las O.E.M. son también soporte de las telecomunicaciones y el funcionamiento complejo del mundo actual.


Origen y formación


Las cargas eléctricas al ser aceleradas originan ondas electromagnéticas.

El campo eléctrico originado por la carga acelerada depende de la distancia a la carga, la aceleración de la carga y del seno del ángulo que forma la dirección de aceleración de la carga y a la dirección al punto en que medimos el campo.

En la teoría ondulatoria, desarrollada por Huygens, una onda electromagnética, consiste en un campo eléctrico que varía en el tiempo generando a su vez un campo magnético y viceversa, ya que los campos eléctricos variables generan campos magnéticos (ley de Ampère) y los campos magnéticos variables generan campos eléctricos (ley de Faraday). De esta forma, la onda se auto propaga indefinidamente a través del espacio, con campos magnéticos y eléctricos generándose continuamente. Estas O.E.M. son sinusoidales (Curva que representa gráficamente la función trigonométrica seno), con los campos eléctrico y magnético perpendiculares entre sí y respecto a la dirección de propagación.


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viernes, 19 de febrero de 2016

Clases de la Onda y su Ecuación.

Ecuación de la Onda.
Es un tipo de ecuación diferencial que describe la evolución de una onda armónica simple a lo largo del tiempo. Esta ecuación presenta ligeras variantes dependiendo de como se transmite la onda, y del medio a través del cual se propaga. Si consideramos una onda unidimensional que se transmite a lo largo de una cuerda en el eje x, a una velocidad v y con una amplitud u (que generalmente depende tanto de x y de t), la ecuación de onda es:
\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \,
Trasladado a tres dimensiones, sería
\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \nabla^2 u \,
donde \nabla^2 es el operador laplaciano.
La velocidad v depende del tipo de onda y del medio a través del cual viaja.
Jean le Rond d'Alembert obtuvo una solución general para la ecuación de onda en una dimensión:
u(x,t)=F(x-vt)+G(x+vt). \,
Esta solución puede interpretarse como dos impulsos viajando a lo largo del eje x en direcciones opuestas: F en el sentido +x y G en el -x. Si generalizamos la variable x, reemplazándola por tres variables x, y, z, entonces podemos describir la propagación de una onda en tres dimensiones.
La ecuación de Schrödinger describe el comportamiento ondulatorio de las partículas elementales. Las soluciones de esta ecuación son funciones de ondas que pueden emplearse para hallar la densidad de probabilidad de una partícula.
*Clases de Ondas.
     _ Según el medio en que se propagan
1)      Ondas electromagnéticas: estas ondas no necesitan de un medio para propagarse en el espacio, lo que les permite hacerlo en el vacío a velocidad constante, ya que son producto de oscilaciones de un campo eléctrico que se relaciona con uno magnético asociado.
2)      Ondas mecánicas: a diferencia de las anteriores, necesitan un medio material, ya sea elástico o deformable para poder viajar. Este puede ser sólido, líquido o gaseoso y es perturbado de forma temporal aunque no se transporta a otro lugar.
3)      Ondas gravitacionales: estas ondas son perturbaciones que afectan la geometría espacio-temporal  que viaja a través del vacío. Su velocidad es equivalente a la de la luz.

En función de su dirección

  • Ondas unidimensionales: las ondas unidimensionales son aquellas que se propagan a lo largo de una sola dimensión del espacio, como las ondas en los muelles o en las cuerdas. Si la onda se propaga en una dirección única, sus frentes de onda son planos y paralelos.
  • Ondas bidimensionales o superficiales: son ondas que se propagan en dos dimensiones. Pueden propagarse, en cualquiera de las direcciones de una superficie, por ello, se denominan también ondas superficiales. Un ejemplo son las ondas que se producen en una superficie líquida en reposo cuando, por ejemplo, se deja caer una piedra en ella.
  • Ondas tridimensionales o esféricas: son ondas que se propagan en tres dimensiones. Las ondas tridimensionales se conocen también como ondas esféricas, porque sus frentes de ondas son esferas concéntricas que salen de la fuente de perturbación expandiéndose en todas direcciones. El sonido es una onda tridimensional. Son ondas tridimensionales las ondas sonoras (mecánicas) y las ondas electromagnéticas.
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Ondas

Definición de Onda.
En física, una onda (del latín unda) consiste en la propagación de una perturbación de alguna propiedad de un medio, por ejemplo,densidad, presión, campo eléctrico o campo magnético, a través de dicho medio, implicando un transporte de energía sin transporte de materia. El medio perturbado puede ser de naturaleza diversa como aire, agua, un trozo de metal e, incluso, inmaterial como el vacío.
La magnitud física cuya perturbación se propaga en el medio se expresa como una función tanto de la posición como del tiempo  \psi(\vec{r},t) . Matemáticamente se dice que dicha función es una onda si verifica la ecuación de ondas:
\nabla^2 \psi (\vec{r},t) = \frac{1}{v^2} {\partial^2 \psi \over\partial t^2}(\vec{r},t)
donde v es la velocidad de propagación de la onda. Por ejemplo, ciertas perturbaciones de la presión de un medio, llamadas sonido, verifican la ecuación anterior, aunque algunas ecuaciones no lineales también tienen soluciones ondulatorias, por ejemplo, un solitón.

* Onda Estacionaria.
Una onda estacionaria es aquella que permanece fija, sin propagarse a través del medio. Este fenómeno puede darse, bien cuando el medio se mueve en sentido opuesto al de propagación de la onda, o bien puede aparecer en un medio estático como resultado de la interferencia entre dos ondas que viajan en sentidos opuestos.
La suma de dos ondas que se propagan en sentidos opuestos, con idéntica amplitud y frecuencia, dan lugar a una onda estacionaria. Las ondas estacionarias normalmente aparecen cuando una frontera bloquea la propagación de una onda viajera (como los extremos de una cuerda, o el bordillo de una piscina, más allá de los cuales la onda no puede propagarse). Esto provoca que la onda sea reflejada en sentido opuesto e interfiera con la onda inicial, dando lugar a una onda estacionaria. Por ejemplo, cuando se rasga la cuerda de un violín, se generan ondas transversales que se propagan en direcciones opuestas por toda la cuerda hasta llegar a los extremos. Una vez aquí son reflejadas de vuelta hasta que interfieren la una con la otra dando lugar a una onda estacionaria, que es lo que produce su sonido característico.
Las ondas estacionarias se caracterizan por presentar regiones donde la amplitud es nula (nodos) y otras donde es máxima (vientres). La distancia entre dos nodos o vientres consecutivos es justamente \lambda/2, donde \lambda es la longitud de onda de la onda estacionaria.
Al contrario que en las ondas viajeras, en las ondas estacionarias no se produce propagación de energía.
Para calcular la velocidad de onda estacionaria se aplica la fórmula:
Y_{r} = A_{r} \cos ( \omega t ) donde A_r = 2A \sin kx
donde
A_r es la amplitud de la onda de cada punto del medio y \omega es la pulsación en cada punto del medio.
Como la amplitud de la onda depende de \sin kx tendremos que se anulará cuando kx = n\pi para n = 0, 1, 2, 3,...
Por lo tanto, como el número de onda , sustituyendo tendremos que
kx = n\pi, por lo que \sin n\pi = 0 para n = 0,1,2,3, ...



(Onda estacionaria (En negro) originada por la interferencia entre dos ondas progresivas en direcciones opuestas. (En azul) la que avanza hacia la derecha y (En rojo) la que se propaga hacia la izquierda. 
Los puntos rojos representan los nodos de la onda estacionaria).

*Onda Viajera.

Se Realiza en un sentido único, se expanden libremente por el espacio o por su medio llegando a recorrer grandes distancias y transportan energía. Por ejemplo, si suponemos que una soga es tan larga como nosotros queramos, la onda que generamos en esta, se propagara indefinidamente por la soga. Las ondas viajeras se dividen en transversales y longitudinales.


(Onda viajera)

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